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论文方法介绍-化二次型为标准型的方法与应用

2021-03-30 12:49:28

  二次型在高等代数中是举重若轻的,许多数学问题都涉及到二次型问题。对于二次型化标准型有:配方法、合同变换法、正交变换法、雅可比方法这四种基本方法,当然还有其他各种便捷的方法去解决独特的二次型问题。

  二次型化标准型是数学领域的常用手段。本文通过把二次型转化为标准型的,以多个例题为依据,对这几种方法做简单的比较与总结,再对将这些方式的应用进探究与解析。这类问题通常是学生在解题中会出现的错误和疑问,也是很多领域中需要具备的非常重要的应用。本论文主要研究其中最常用也是最基本的几个方法,在化二次型为标准型的过程中,下面各种方法都有它们独自的优缺点及其独到之处,所以研究把二次型转化为标准型的方式是十分有价值的。

  1二次型的定义

  要想用矩阵理论解决二次型时会把二次型写为.

  比如,关于二次型函数,简单断定它是一个二元正定二次型,那么(且是常数)的图像为椭圆.若是任意常数那么就是一族椭圆,跟着收缩至原点.在为三元正定二次型的时候,的图形是一族椭球.

  设是数域,为个字符,那么元二次齐次多项式称为数域中的元二次型函数,且存在。若为实数,则称为实二次型。若为复数,则称为复二次型。若二次型中仅存在的平方项,就叫是标准形。

  2化二次型为标准型的方法

  2.1合同变换法

  我们知道,秩是和阶的对称矩阵,均有一个阶可逆矩阵,有

  其中,这时合同于。因为能把可逆矩阵表达成个初等矩阵的积的形式,就有

  上述式子即表明对矩阵进行初等行变换,再令也做对应的列变换;又对做初等行变换,再对做对应的列变换;如此向下做,直到把化成对角形矩阵。

  我们还了解到,如果对作初等行变换时,把单位矩阵也行变换,那么变为对角形矩阵时,化为。

  例1用非退化的线性替换

  化二次型为标准形。

  解令的矩阵为,并做矩阵,合同变换得,

  即

  且令,即得的标准形

  2.2第三种初等行变换法

  这种方式其实是对合同变换法进行的改进,下面的命题为理论根据。

  命题设是阶实对称矩阵,是一些第三种初等矩阵的积,又有

  其中,为阶矩阵,那么

  证明由于P′是这种初等矩阵之积,那么它的转置就为初等阵的积,于是,在右乘中,要注意,便有第一列元素生变化,即

  而为对称矩阵,所以,b=0。此即

  由此命题我们知道,只需把矩阵作像这样的第三种初等行变换,在把化成上三角形矩阵的过程中,就变为。现在我们对上面的例子用这个方法。

  即

  则有,不难看出与之前得到的结果一致。

  2.3变形的合同变换法

  在对前两种方法互相补充,我们得到了另一种方法。就是在某些时候要先合同变换,令二次型的矩阵的主子式不为零,然后用2.2的方法进行变换。

  例2作非退化线性变换把二次型

  化为标准形。

  解作出的矩阵,再写出矩阵,合同变换,再进行第三种初等行变换,得到

  取,则

  令,得。

  2.4正交线性替换

  作正交矩阵是作正交线性替换将实二次型化为标准形的关键,下面我们用格兰姆矩阵及合同变换作正交矩阵。

  设是维欧式空间的基,那么它的格兰姆矩阵

  是正定矩阵,那么,与单位矩阵合同,就有可逆矩阵,令,再作的新基:,那么新基的格兰姆矩阵为

  所以是维欧式空间的标准正交基。

  例3将二次曲面方程

  化为标准方程。

  解:1.用正交变换法将二次型

  化为标准型。

  设是此二次型对应的矩阵,于是

  由

  由上式求得的特征值为

  由方程组

  把其单位化,再把正交矩阵进行列构造

  使得。于是作正交变换,其中

  ,就可以使二次型化为标准型

  同时,将曲面方程化

  2.将上式配方,得

  令

  得二次曲面标准方程

  所用的坐标变换包括正交变换

  即

  和平移变换,两者合起来就是

  例4用正交变换将二次型

  化为标准型,再求其做的正交变换。

  解:先作二次型对应的矩阵,算出全部互异特征值。

  于是

  由此可得

  对任意特征值,做出方程组的基础解系,再进行schmidt正交单位化。

  对于,方程组为,即

  求得其一组基础解系:

  下面对,先schmidt正交化,再单位化:

  令

  对于,方程组为,即

  求得一组基础解系:,将之单位化得

  3.由作正交阵,即取

  于是有

  于是,通过正交变换,得到标准型

  其中

  2.5拉格朗日配方法

  如果二次型拥有的平方项,那么要集中这些拥有的乘积项,最后配方,并使其他的变量也作同样操作,全部配成平方项时截止,通过非退化线性变换,便变化为了标准形;

  若无平方项,但是,那么要先进行逆线性变换。

  例5用正交线性替换把二次型

  转换为标准形。

  解所给二次型的矩阵为

  则,A的特征值。当时,其所对的齐次线性方程组的基础解系是;当时,其所对的齐次线性方程组的基础解系为,,这样,作为的基,且知道其格兰姆矩阵为

  作矩阵,且进行合同变换,

  取可逆矩阵,则

  今用和作新基,易知,,。由上述知为的标准正交基,那么是正交矩阵,有

  作正交线性替换,则得的标准形:

  .

  例6化二次型

  为标准型,并求所用的变换矩阵。

  解:由于所给的二次型中无平方项,所以令

  ,

  代入,

  得

  再配方,得

  令

  得