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论文方法介绍-反常积分的收敛判别及与相关数学模块的关系

2021-04-02 16:02:35

  反常积分是分析领域的热点,判断敛散性是其计算、性质研究的先决条件,因此,反常积分收敛判别法具有重要的研究价值。同时,它还与无穷级数、含参变量反常积分、反常重积分在定义、收敛判别法上具有相似性,将反常积分与这3个模块进行对比研究,能够完善反常积分的知识体系,并推广其中的数学思想。

  首先,对于非负函数反常积分,本文介绍了3种常用的收敛判别法:比较判别法、Cauchy判别法及对数判别法,并推广得到利用等价无穷大(小)量进行判别的方法,对于一般函数反常积分,给出了Abel-Dirichlet判别法、导数幂乘法。

  其次,本文给出了反常积分与数项级数、含参变量反常积分、反常重积分之间收敛判别的关系。第一,给出反常积分的级数形式,推广无穷级数的收敛判别方法,得到反常积分的d’Alember判别法、根值判别法、Raabe判别法、Leibniz判别法,以及一种取单调递增的等比点进行判别的方法。第二,归结与反常积分相类似的含参变量反常积分一致收敛判别法:Cauchy收敛原理、Abel-Dirichlet判别法,以及利用反常积分敛散性来判断其一致收敛性的Weierstrass判别法和一种判断含参变量反常积分非一致收敛的简便方法。第三,归纳反常二重积分与反常积分相类似的收敛判别法:比较判别法、Cauchy判别法,并从例题入手,得出结论:两者敛散性具有差异的本质原因是定义域是否全序。

  最后,介绍了反常积分在统计、光学、动力学中的主要应用,由此对反常积分的未来发展进行了展望。

  1.1问题背景

  积分学源于几何问题,它的思想萌芽于古希腊时期,在3世纪,中国数学家刘徽创立的割圆术、求体积问题的设想也体现了极限这个数学思想。17世纪后半叶,Isaac Newton与G.W.Leibniz以前人的成果为基础创立了微积分学,而后在A.L.Cauchy、Weierstrass等人的研究下,积分理论日趋完善。积分学可以与其它数学分支、其它学科进行交叉运用,例如概率论、解析几何、经济学、生物学等。

  在积分学中,反常积分是在处理实际问题时发展出来的内容,它突破了Riemann积分的限制条件:区间有限性、函数有界性,分为无穷积分与暇积分两类。几何学中的对数螺线函数、物理学中的引力做功、经济学中的利润计算[3]等等都离不开反常积分。在实际应用中,被积函数的复杂性使得函数积分值往往不易求出,而计算反常积分的先决条件是确认其收敛性,由此引发判断反常积分收敛方法的研究。不仅如此,以极限为工具的反常积分理论体系与部分数学模块之间存在本质的联系,通过分析反常积分与无穷级数、含参变量反常积分和反常重积分这三个模块之间定义、收敛性判别方面的联系,将反常积分的收敛判别方法进行推广,从而得到三个数学模块中相应的判别方法与结论,形成完整的知识体系,便于解决更多问题。

  1.2发展现状

  目前对于反常积分的研究,主要为理论方面,其收敛性判别是分析领域研究的热点问题。最初,反常积分的收敛性判断方法主要有比较判别法[4]、Cauchy判别法及Abel-Dirichlet判别法等[5],随着研究的进行,逐渐产生新的学术成果。徐晶以为比较标准,介绍了一种对数判别法[6],能够有效处理被积函数为幂指函数的反常积分;郭才顺、黄绍斌通过讨论极限的数值大小来判断收敛性[7];吴旻诚等人利用被积函数的导数性质得到一种导数幂乘法[8];龙爱芳通过比较与1的大小关系,以此判断的收敛性,并给出了相应的推论形式[9]。反常积分收敛判别的理论日趋成熟。

  无穷级数的理论与积分是同时发展、成熟起来的。反常积分以函数为研究对象,而无穷级数以数列为研究对象,两者都以极限作为分析工具,具有对比研究的价值。目前,众多国内外学者对级数与反常积分进行过对比研究,Gabriella Kovacs从级数求和推导至反常积分,并给出了相关的例证[10],魏正刚从定义与性质方面进行论证,认为两者的理论具有相似性[11]。利用两者的联系,可推广无穷级数收敛性的判别方法:根值判别法[12]、Leibniz判别法[13]、d'Alember判别法、Raabe判别法[14]。

  含参变量的反常积分连续性、可微性都需要以具有一致性作为前提,因此,研究其一致收敛性具有价值。将反常积分被积函数由一元推广到二元,就得到了含参变量反常积分,两者具有类似的收敛判别方法:Cauchy收敛原理、Abel-Dirichlet判别法[15]。相较于反常积分的收敛判别,含参变量反常积分一致性的判别方法较少,且往往过于繁琐[16,17],因此,考虑建立其与反常积分之间的联系,从而简化一致性的判别方法。除了理论相对较为成熟的Weierstrass判别法[18],王庆东借助反常积分的收敛性,介绍了一种判断含参变量反常积分非一致收敛的定理[19]。

  反常重积分的应用很广泛,尤其是反常二重积分:概率论中分布函数就涉及反常二重积分的相关问题[20],物理光学中也是利用反常二重积分求解三角面元剖分下散射问题[21],因此,反常二重积分收敛性判别问题具备一定的科学研究价值。反常二重积分和反常一重积分有相类似的收敛判别方法:比较判别法、Cauchy判别法[22]。同时,两者的收敛性也有差异,反常二重积分的收敛与绝对收敛等价,而反常一重积分并不等价。刘继成、王湘君通过分析具体例子,直观给出两者的不同性质是由定义域上的差异造成的[23]。

  1.3预备知识

  本节将对反常积分、无穷级数、含参变量反常积分、反常重积分这4个模块的一些基本定义、定理进行简要叙述,并对暇积分进行换元处理,将对反常积分的讨论简化为对无穷积分的讨论。

  1.3.1反常积分

  定义1若函数在区间上有定义,则称为函数的无穷积分。

  定义2设函数在区间上连续,且,在上无界,则称为的一个奇点。不妨令在仅有唯一奇点,此时称为函数的暇积分。

  定义3设函数在上有定义,,,有在上可积,若极限存在,则称无穷积分收敛,且=。

  Cauchy收敛原理,有,即反常积分收敛。

  定义4若收敛,发散,则称条件收敛。

  定义5若收敛,也收敛,则称绝对收敛。

  Riemann积分的区间可列可加性:设,,…,,…为一列除端点外两两不相交的闭区间,且,则在上Riemann可积在上有界,且在区间,,…,,…上皆Riemann可积[24]。

  积分第二中值定理:设在上可积,在上单调,则

  ,。

  引理1:设为无穷小量,且,则。

  反常积分可分为无穷积分、暇积分这两类。若为暇积分,利用换元法,令,得到

  此时,将暇积分利用换元法转化为了无穷积分,因此,两种反常积分具有平行的定理和结论[25]。下文将以无穷积分为例,讨论其收敛判别方法,暇积分可以相应得到类似的结论。

  1.3.2无穷级数

  定义6设,,…,…为无穷可列个实数,则称为无穷级数,其中为级数通项。

  定义7称为级数的部分和数列。

  定义8若部分和数列收敛于一个有限数,则称级数收敛,且其和为,记为。

  定义9若级数满足单调递减且则称这样的级数为Leibniz级数。

  Heine定理对任意数列,其中,且,则。

  1.3.3含参变量反常积分

  定义10设二元函数是定义在无界区域上的连续函数,对任意固定的变量,是上关于的一元连续函数,若它在区间上的反常积分都收敛,且积分值由变量惟一确定,则称,为含参变量的无穷限反常积分。同理,可定义,为含参变量的无穷限反常积分。或将它们简称为含参量反常积分。

  定义11设二元函数在区间上有定义,且,反常积分收敛。若,与无关,使得当时,,成立,则称含参量反常积分关于在上一致收敛于。

  Cauchy收敛原理关于在上一致收敛,,,成立,。

  1.3.4反常重积分

  定义12设二元函数在上零边界闭域上有界,给出的一个划分:,,…,,并记,在每个小区域上任取一点,记为的面积,若时,的极限存在,且与划分、的选取方法无关,则称在上可积,并称的极限为在上的二重积分,记为。

  定义13设为上的无界区域,边界为有限条光滑曲线,上的函数有界,且在可求面积的子区域上可积,用一条面积为零的曲线将割出有界子区域,记为,记为到原点的距离:,若()时,极限值存在,则称在上可积,称极限值为在上反常二重积分,记。

  定义14在集合中,存在偏序关系,若,有或,则称偏序关系为全序。

  引理2:设二元函数为无界区域上非负函数。若一列曲线将割成有界子区域且,,则在上收敛收敛,且在收敛时成立等式

  2反常积分收敛判别方法

  在讨论反常积分收敛性问题的过程中,函数的多样性增加了讨论难度,为了降低函数的复杂程度,先根据的定号性将其分为定号函数和正负性不定的一般函数,对于较为简单的定号函数,本章以非负函数为例给出了4种常用判别方法,对于较为复杂的一般函数,本章给出了2种判别方法与1个命题。

  2.1定号函数反常积分收敛判别方法

  由于改变定号函数正负性并不影响函数性质,因此,下文将针对非负函数反常积分收敛性进行讨论。

  令,对于定义在上的非负函数,显然有为递增函数,那么收敛有上界,由此可以得到反常积分的比较判别法。

  定理2.1(比较判别法):设函数在区间上可积且满足不等式,,

  <1>若收敛,则收敛;

  <2>若发散,则发散。

  证明:由于非负函数具有的特征,可以得到无穷积分关于单调,因此,若区间上的函数、满足,则,有。

  <1>当收敛时,一定有成立,即,有反常积分收敛。

  <2>当发散时,有,即发散。

  基于积分线性性质,扩大适用范围,令,,则与敛散性相同。?

  对定理2.1进行推广,得到极限形式:设在区间上可积且满足、,,

  <1>当时,收敛,则收敛;

  <2>当时,发散,则发散。

  比较判别法是对非负反常积分进行判别的最基本的方法,基于定理2.1的结论,可以推出更多简便的判别方法。

  讨论收敛性时,考虑借助已知收敛性的反常积分,再结合比较判别法。取(常数),当时,收敛,当时,发散,由此得到定理2.2。

  定理2.2(Cauchy判别法):设在上有定义,在任意有限区间上可积,且恒有,

  <1>若且,则收敛;

  <2>若且,则发散。

  对定理2.2进行推广,得到极限形式:设在上有定义,在任意有限区间上可积,且恒有,令,

  <1>若且,则收敛;

  <2>若且,则发散。

  定理2.2中,当被积函数为正时,对判别式的两边取对数,可以降低的次数,从而能够简化对高次函数的判别,由此得到定理2.3。

  定理2.3(对数判别法):设在上有定义,在任意有限区间上可积,且恒有,

  <1>若,则收敛;

  <2>若,则发散。

  对定理2.3进行推广,得到极限形式:设在上有定义,在任意有限区间上可积,且恒有,令,

  <1>若,则收敛;

  <2>若,则发散。

  而当时,反常积分是否收敛具有不定性。例如:当时,有发散,当时,有收敛。

  综合定理2.2(Cauchy判别法)与定理2.3(对数判别法)的结论,可以发现这两种方法将被积函数分别与、作乘积或商运算,并对运算结果的极限值进行讨论。这种既涉及函数的乘除运算,又以极限为工具的处理方法在无穷大量阶的比较中也有运用,可以将两种方法用无穷大量的语言进行进一步推广。当时,关于无穷大量、的极限有:

  <1>,即;

  <2>,即。

  以此为基础,可以对反常积分利用等价无穷小(大)的方法进行比较,得到定理2.4。

  定理2.4:设函数在上有定义,在任意有限区间上可积,且恒有,

  <1>若,其中,则时收敛,时,发散。

  <2>若,且,则收敛;

  <3>若,且,则发散。

  利用上述收敛判别法,可以处理部分反常积分的敛散性问题,现给出两个例题及其求解方法。

  例1:判断反常积分的敛散性。

  解:,又收敛,收敛。?

  例2:判断反常积分的敛散性。

  解:当时,,有

  利用定理2.2的极限形式,可知收敛。

  当时,有,利用定理2.1可知,发散。

  当时,有,令,得到反常积分,同理当时,收敛,当时,发散。当时,有,此时,若,则收敛,若,则发散。

  综上所述,当,且,、且时,反常积分收敛,在其它条件下发散。?

  2.2不定号函数反常积分收敛判别法

  相比于定号函数,正负性不定的一般函数反常积分收敛判别问题更加复杂。对于性质不确定的一般函数,考虑从反常积分的Cauchy收敛原理出发,利用积分第二中值定理,可得到一种常用的Abel-Dirichlet判别法。

  定理2.5(Abel-Dirichlet判别法):若下列两组条件之一满足,则收敛:

  <1>收敛,单调有界;

  <2>有界,单调且。

  证明:根据Cauchy收敛原理,需证反常积分满足,。根据积分第二中值定理得到不等式(*)。

  <1>已知有界,收敛,则,有,且,。利用不等式(*),可以得到。

  <2>已知函数有界,则,有,成立有不等式,已知单调且,,,有。利用不等式(*),得到。?

  事实上,在利用定理2.5处理含有、的反常积分敛散性问题时,往往需要将A-D判别法与放缩法相结合,利用不等式、进行放缩,可以得到新的结论。

  命题2.6:设函数在上有定义,在任意有限区间上可积,若,使得在上单调且,在不考虑条件收敛与绝对收敛的情况下,反常积分、均与的敛散性相同。

  例3:讨论反常积分的条件收敛性与绝对收敛性。

  解:当时,有,根据定理2.2可知,收敛,根据定理2.1得到收敛,即绝对收敛。

  当时:(i)考虑,由于,而当时,单调递减趋于零,由Dirichlet判别法,可知收敛。(ii)考虑,由于,则,根据定理2.2可知,发散,同时,由(i)知收敛,从而发散。故条件收敛。

  当时,显然成立,取,,,使得,此时,取,,则,且

  利用Cauchy收敛原理可知发散。?

  在处理一般函数反常积分时,除了上述常用的A-D判别法,还有一种利用函数自身的导数性质进行判别的方法。

  定理2.7(导数幂乘法):设为上一阶可导函数(),,,则

  <1>当且时,有收敛;

  <2>当且时,有发散。

  证明:<1>当且时,若,即,由引理1,可知,则,当时,有,利用定理2.2的极限形式得到收敛;同理,若,由引理1,可知,即,当时,有,利用定理2.2的极限形式,得到收敛。

  <2>当且时若,即,由引理1可知,则,当时,有,利用定理2.2,得到发散;同理,若,由引理1可知,即,当时,有,利用定理2.2,得到发散。

  例4:判断的敛散性。

  解:记,则,,且,此时,根据定理2.7,则有发散。?

  导数幂乘法不需要寻找新的反常积分作为比较标准,而是利用的导数性质进行判别,可以处理易求的可导函数反常积分问题,操作简便,应用范围也更加广泛。

  3与其它部分数学模块的联系

  3.1无穷级数

  反常积分以函数为研究对象,而无穷级数以数列为研究对象,两者都以极限作为分析工具,反常积分作为变限积分的极限,许多性质都与定积分类似,以反常积分为例,判断其收敛性即为讨论极限的存在性。借助这个思想,可以将反常积分转化为无穷级数,从而将两者在收敛判别方面进行联系和推广。

  3.1.1与无穷级数的收敛关系

  设,将区间任意分成个闭区间,记个节点分别为,其中,,根据Riemann积分的区间可加性,可得

  基于Riemann积分的区间可列可加性,可将有限个区间的可加性推广至无穷区间中可列个区间的可加性,由此得到无穷积分的级数形式。

  定理3.1:收敛严格增数列:,,无穷级数收敛,且有。

  证明:充分性:由于收敛,则收敛,即收敛,由Heine定理可得,故收敛。

  必要性:已知无穷积分收敛,则可以得到等式。?

  根据定理3.1,只需判断无穷级数的收敛性便可得到的收敛性,因此级数的收敛判别方法能够推广到反常积分。

  3.1.2相关反常积分收敛判别法

  与非负函数反常积分相同,正项级数也有相类似的比较判别法。而等比级数是常见的正项级数,将需判别的正项级数与等比级数进行比较,相应有d’Alember判别法、根值判别法,将这两种方法推广到非负函数反常积分,得到下列定理。

  定理3.2(d’Alember判别法):设函数在上有定义,在任意有限区间上可积,且恒有,则

  <1>若,则收敛;

  <2>若,则发散。

  对定理3.2进行推广,得到d'Alember判别法的极限形式:设在上有定义,在任意有限区间上可积,且恒有,令,

  <1>若,则收敛;

  <2>若,则发散。

  定理3.3(根值判别法):设在上有定义,在任意有限区间上可积,且恒有,令,

  <1>若,则收敛;

  <2>若,则发散。

  考虑到d'Alember判别法是通过取因变量的一系列等距点进行分析,同样,也可以取因变量的一系列单调递增的等比点,以此对反常积分的收敛性进行判别。

  定理3.4:设在上有定义,在任意有限区间上可积,,当时,恒成立,,

  <1>若,则收敛;

  <2>若,则发散。

  证明:不妨设且有,则为关于的单调递增函数,下证,反常积分均有界:

  <1>,又,,。故,,有界。即,收敛。

  <2>由<1>的推导可以得到等式,,

  又,,

  ,故,发散。?

  对定理3.4进行推广得到极限形式:设在上有定义,在任意有限区间上可积,,当时,恒成立,令,,

  <1>若,则收敛;

  <2>若,则发散。

  例5:判断反常积分的敛散性。

  解:令,且在上满足恒成立,取,则有,因此收敛。?

  对于部分正项级数,当时,d’Alember判别法、根值判别法都失效,此时存在一种新的Raabe判别法。同样,对于非负函数反常积分,当时,相应地有Raabe判别法。

  定理3.5(Raabe判别法):设在上有定义,在任意有限区间上可积,且恒有,,当时,

  <1>若,则收敛;

  <2>若,则发散。

  对定理3.5进行推广,得到Raabe判别法的极限形式:设函数在上有定义,在任意有限区间上可积,且恒有,令,

  <1>若,则收敛;

  <2>若,则发散。

  以上判别法是从正项级数出发得到的,当无穷级数为Leibniz级数时,存在Leibniz判别法,同样可以将其推广到反常积分,得到一种处理不定号函数反常积分的判别法。

  定理3.6(Leibniz判别法):设在上有定义,在任意有限区间上可积,,若在区间上存在等差数列:,公差,使在上非负(或非正),在上非正(或非负),且有不等式,则收敛。

  例6:函数,,,判断反常积分的收敛性。

  解:易知,取等差数列,函数在上非负,在上非正,且有,由定理3.6可知,收敛。?

  3.2含参变量反常积分

  反常积分考虑的被积函数是一元函数,将反常积分被积函数由一元推广到二元函数就得到了含参变量反常积分,从定义可以看到:含参变量反常积分的一致收敛性以反常积分的收敛性为基础。因此,一方面,含参变量反常积分具有与反常积分相类似的判别方法:Cauchy收敛原理、Abel-Dirichlet判别法;另一方面,可以考虑利用敛散性已知的反常积分来判断部分含参变量反常积分的一致收敛性,这为判别一致收敛问题提供了便利方法。

  3.2.1与反常积分的相类似的判别法

  以含参变量反常积分为例,假定满足收敛,根据一致收敛的定义,可以得到Cauchy收敛原理。

  定理3.7(Cauchy收敛原理):在上一致收敛,,,成立,。

  利用积分第二中值定理,同样也可以得到含参变量反常积分的Abel-Dirichlet判别法。

  定理3.8(Abel判别法):若函数,满足:

  <1>关于在上一致收敛;

  <2>对每个固定的,函数关于单调;

  <3>,使得,,。

  则关于在上一致收敛。

  定理3.9(Dirichlet判别法):若,满足:

  <1>,使得,,;

  <2>对每个固定的,函数关于单调;

  <3>,,使得当时,,成立。

  则关于在上一致收敛。

  例7:证明关于在上不一致收敛。

  证:(方法1)

  ,取,令,则,不妨设,当时,,于是有,由Cauchy收敛准则可知关于在上不一致收敛。

  (方法2)反证法:

  由于,假设关于在上一致收敛,已知关于单调且有界,则由Abel判别法可知关于在上一致收敛,而由发散,知在上不一致收敛,产生矛盾,故在上不一致收敛。?

  例8:讨论关于在()上的一致收敛性。

  解:,有,即关于在上一致有界,且关于单调,,由Dirichlet判别法可知,关于在()上一致收敛。?

  3.2.2利用反常积分收敛性的判别法

  上述判别方法只能从含参变量反常积分的角度进行判别,具有一定的局限性。而基于反常积分与含参变量反常积分的联系,可利用反常积分收敛性的结论简化一致收敛性的判别过程。

  首先,根据定理3.7,考虑将二元被积函数放大为一元函数,从而借助一个收敛的反常积分就能得到原含参变量反常积分一致收敛的结论。

  定理3.10(Weierstrass判别法):若存在使得:

  <1>,,,

  <2>反常积分收敛,

  则在上一致收敛。

  例9:证明关于在上一致收敛。

  证:由于,,,而反常积分收敛,由Weierstrass判别法可知关于在上一致收敛。?

  其次,若关于参变量一致收敛,则一定有其收敛。这说明:含参变量反常积分一致收敛的必要条件为相应的反常积分收敛,通过一些发散的反常积分可以得出部分含参变量反常积分不一致收敛。由此得到定理3.11。

  定理3.11:若关于参量一致收敛,则,,反常积分收敛。

  逆否命题为:若,,使反常积分发散,则含参变量反常积分关于参量非一致收敛。

  例10:证明在上非一致收敛。

  证:取,则,,由于反常积分在上发散,从而在上非一致收敛。?

  3.3反常重积分

  相对于一元的反常积分,反常重积分的概念、判别方法更复杂深刻,同时也具有更加广泛的现实应用和意义,在实际应用中,反常二重积分相较于其它反常重积分更为普遍,为了方便入手,以反常二重积分为例进行讨论。将反常一重积分的区间扩展为二维区域,考虑函数在平面上的无界区域,或在有界区域上为无界函数这两种情况,相应存在两种反常重积分。本节以无界区域上的反常二重积分为例进行讨论,无界函数反常二重积分也具有同样的判别方法。

  3.3.1与反常积分相类似的判别法

  与反常一重积分相同,从反常二重积分的定义出发可以得到相应的Cauchy收敛准则。

  Cauchy收敛准则:设定义在无界区域上,若对平面上任意包围原点的光滑封闭曲线有在上可积,则收敛,,,都成立不等式。

  证明:充分性:令,当时,函数收敛,记,则,,,有,对平面上任意包围原点的光滑封闭曲线,且,有

  故反常二重积分收敛。

  必要性:收敛,易知,,,都成立不等式。?

  根据Cauchy收敛准则,可以推出与反常一重积分相类似的比较判别法、Cauchy判别法。

  定理3.12(比较判别法):若、定义在无界区域,,常数,成立不等式,

  <1>若收敛,则收敛;

  <2>若发散,则发散。

  例11:讨论的敛散性,其中,满足(为常数)。

  解:由于,而在时收敛,在时发散,故原积分在时收敛,在时发散。?

  定理3.13(Cauchy判别法):若定义在无界区域上,极坐标形式为:,其中,

  <1>若使得,则当时收敛;

  <2>若使得,则当时发散。

  例12:讨论的敛散性,其中,且满足(为常数)。

  解:由于,而对于有(),在时收敛,在时发散,故原反常二重积分积分在时收敛,在时发散。?

  3.3.2与反常积分的差异

  为了讨论反常一重积分与反常二重积分收敛性之间的差异,本节将从一个反常二重积分的例题入手,通过与反常积分收敛判别例题进行比较,得到相应的结论。

  例13:定义在区间上,定义在区间上,定义,且,讨论反常二重积分的收敛性。

  证:

  取,,

  令,,,由于级数

  得到级数发散,此时得到

  因此反常二重积分发散。?

  将例6中的收敛与例13的,发散进行比较,可以得到反常一重积分的定义域中实数是全序的,而反常二重积分中的定义域中实数对不是全序的,不能将反常二重积分简单定义为,这说明两者收敛的差异性是由定义域不同而造成的。