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论文方法介绍-微积分学在经济领域中的应用

2021-04-05 10:48:19

  在现代数学中,微积分学是重要的组成部分,微积分学是微分和积分的总称,微积分学主要包括极限、导数以及积分等理论。本文按照微积分学的内容极限理论、导数理论、积分理论在经济方面的应用进行分层分析,其中微积分学的思想和在经济中的应用是本文的核心内容。在这篇文章中,我们首先了解微积分的概念和基本定理,然后分析了极限理论、导数理论、积分理论在经济中的应用。在应用实例方面,以一类经济优化问题为应用实例,然后分别采用极限理论知识、导数理论知识和积分理论知识解决经济中最优化的问题。应用例子部分来源于知网、百度网等查找相关文献资料,并经过比较选出较为典型的应用例子。本文以极限理论、导数理论和积分理论在经济中的应用做了深度剖析,采用科学的计算方式来解决现实经济行为中的问题并获得理想方案。通过理想方案和现实情况的对比,为这些经济行为提供最为科学的解决方案以供参考,以此作出最好的经济决策。同时,我也希望微积分能更容易被接受和学习。

  1.1发展状况

  微积分学自17世纪下半叶创立之初到发展至今,历经三百多年的发展,从开始的应用于天文学、力学、几何中的计算问题,到现在的横跨物理、经济等各个领域,微积分的出现对整个人类现代社会的发展起到了非常大的作用,我们如何去赞美它都不算过分。而且微积分自创立以来,就开始一步一步地推动整个近代数学的发展进程,在过去,一些经济问题采用初等数学来解决的问题无疑需要繁杂步骤和计算过程并且还不一定得到最科学的解答,而运用微积分却可以更加简洁的解答,这显示了微积分的非凡力量。随着数学与现代社会的不断发展和互相融合,微积分和经济学也开始了互相推动彼此前进的动力,使得彼此互相渗透,微积分便广泛地适用于经济学的各个领域。到至今,微积分在经济的运用体现在复利计算等多个方方面面,这些都直接或间接地影响了经济的发展。在当今社会可以这么说,不论你想掌握哪一门工程学科或者数学都需要事先有一定的微积分基础,也就是我们所说的“数学学得好,样样都不怕”。在经济行为中,微积分为经济行为提供理想的方案参考,经济反馈也会促进微积分的发展。

  1.2研究的价值和意义

  本文研究的是微积分学的三大基本内容极限理论、导数理论和积分理论在经济领域中的应用。按顺序分层剖析极限理论、导数理论和积分理论在经济领域中的应用,阐述了微积分如何使用理论知识应用于经济中的方法。从极限、导数、积分等内容进行探索,促进经济和微积分的共同发展才是我们的主要目的,让学者更容易理解和认识微积分学的知识与应用。通过探讨微积分学在经济中的现实运用,能够给现实经济行为提供可操作的参考意义。

  第二章微积分思想概述

  2.1微分思想和内容

  微分思想的核心是无限细分,即反映函数的部分变化率,用线性函数分析较小范围的函数问题,微分中值定理就是最能体现无限细分的代表,以下是几个微分中值定理的定义。

  罗尔定理【1】如果函数满足下列条件:

  (1)在闭区间连续;

  (2)在开区间可导;

  (3).

  则在区间内至少存在一点,使

  .

  拉格朗日中值定理设函数:

  (1)若在闭区间连续.

  (2)若在开区间可导.

  则在区间内至少存在一点,使

  .

  柯西中值定理如果函数与满足下列条件:

  (1)在闭区间连续;

  (2)在开区间可导,且,有.

  则在区间内至少存在一点,使

  .

  泰勒公式:是描述函数在某一点附近的值及其信息的公式。即.

  2.2积分思想和内容

  积分思想的核心是无限求和,也就是说,利用已知问题的导数函数来寻找问题的原函数,在积分中有牛顿-莱布尼兹公式和积分第一中值定理以及积分第二中值定理,求解积分问题的理论就是来源于此。

  牛顿-莱布尼茨公式【1】设函数,如果函数在闭区间上连续,且存在原函数,即,,则在闭区间上可积,且。则便被称为牛顿-莱布尼茨公式。

  积分第一中值定理如果在上连续,则至少存在一点使得

  积分第二中值定理如果函数在上是可积的。

  (i)如果函数在闭区间上减,并且,存在,使得.

  (ii)如果函数在闭区间上增,并且,存在,使得.

  第三章极限思想在经济中的应用

  3.1体现利润最大化的极限思想

  在经济活动中,利润是我们通常都要考虑的问题,有没有利润以及利润最大化是经济参与者最关注的事情。在这个问题中,极限思想是解决的最好思想。如下以极限思想在利润最大化中的体现为应用作例子。

  例1假设有一企业,每月生产吨的产品,而消费的总成本(单位:千元),与产量有着以下的函数关系:,假设一吨产品销售的价钱是2万元,那么在保证每月都将生产的产品卖出的情况下,每月应该生产多少吨产品?才能获最大的极限利润。

  解:依题意,设每月消费吨产品的总收入函数为:(千元),那么生产吨的产品利润为(千元),到了这里我们不难看出这是一个二次函数关系,这个二次函数在图像上是有最高点的。根据二次函数的一般式,然后由顶点轴的公式得出当结论:每月生产15吨产品可以获取到最大利润,最大利润为:255(千元)。

  3.2连续复利的计算

  利率才是决定一个银行收支的关键影响要素,银行利率太高可能会有负债过高而倒闭的风险,银行利率太低也会有吸引不到投资的情况。在日常生活中,银行的利率也会对我们的生活有着直接或间接地影响。现在绝大多数人都喜欢找银行贷款买房,事实上,你在银行存款的利率提高了,那么你在银行贷款买房贷款的钱利率也高了,所以这样你买房的钱就会增多。当然,利率提高也不全然是坏处,银行提高利率,那么存款会变多,这一点是毋庸置疑的。因为银行利率高了,那么就会吸引更多的国民来存钱。

  知道利率对我们日常生活的重要性之后,那么我们就开始进入利率的计算。利率的计算中连续复利的计算就体现了一个重要极限.

  例2假设本金为十万元,年利率为百分之五,存款的假定期限为十年,求到期后的本息为多少?假设每年计息次,那么本息会不会更高?

  解:设本金为,年利率为,期限为年,按照本息和复利计算公式,得到.代入,即元。如果每年计息次,则年后本息为.这说明了如果每年计息次,本息确实会高一点,连续复利计算次数越频繁,计息周期越短,计算所得的本息和数额就越大。但是,当时,,所以呢,即时每年计息本息也不会无限增大。

  第四章导数在经济中的应用

  导数的思想就是瞬时变化率,而在现代的经济活动中导数的基本应用便是弹性分析和边际分析。

  4.1弹性分析

  4.1.1经济中弹性的含义

  在经济当中,我们不难了解到当一种商品的价格发生变化时,这种商品的需求量也会随之发生变化。除此之外,也有因为消费者的收入多少和其他相关商品或者可替代的商品的价格等这些可变化的因素发生变化时,那么这种商品的需求也是会发生变化的。同样地,如果一种商品的的生产地和劳动力价格发生了等外在条件发生了较大的变化,使得这种商品的生产量发生了变化进而影响到了商品的价格的变化。通过这些关系,我们会以函数的关系分离出因变量和自变量,进而我们会想知道当一种商品的价格上涨一个百分比时,与之所对应的这种商品的需求量和供应量分别会有什么样的变化?总而言之呢,经济中的弹性就是因变量对于自变量产生变化后反应的敏感程度,具体地说,弹性是一个数字,也就是弹性系数。一般的经济弹性系数等于因变量的变动比例除以自变量的变动比例【18】。

  4.1.2需求弹性的含义

  在大多数情况下,我们将需求的价格弹性称之为需求弹性。而需求的价格弹性通常表示为在一定时间段内一种商品的需求量变动对于这种商品的价格变动的变化敏感度。也可以反过来说,表示为在一定时间段内一种商品的价格变化一个百分比时所引起这种商品的需求量变化百分比,这就是我们所说的需求弹性,正因为它也是弹性,所以需求弹性也是一个待定的数字。一般的需求的价格弹性系数等于需求变化率除以价格变化率。在通常的现实生活中,我们知道商品的需求量和商品价格是反比关系。也就是我们一般得到的需求的价格弹性系数都是负数。我们用来表示需求的价格弹性,由此我们得到了商品需求量变化对商品价格变动关系的经济学表达如下:

  (1)若时,商品需求量的变化情况与商品价格的变化情况相等,称为单位弹性.

  (2)若时,商品需求量的变化情况比商品价格的变化情况更加明显,称为高弹性.

  (3)若时,商品需求量的变化情况不如商品价格的变化情况明显,称为低弹性.

  4.1.3在商品需求弹性与总收益关系中的应用

  在商品的销售过程中,企业最为关注的是价格变化会给收益带来的影响。所以通过确定商品的需求的价格弹性系数以做出合理的商品价格变动来获得更高的收益也成为了一种有效的经济手段。也就是说当产品处于高弹性状态时,采取通过降低产品价格的方式来提高销量,此时较少的利润将会带来较高的销量,进而使企业获得的利润增加。而当产品处于低弹性状态时,采取通过提高产品价格的方式来实现每一件产品的收益,由此来获得总收益的增加。当产品处于单位弹性状态时,价格的变换对于商品总收益的影响不大,此时,提高价格或降低价格都不是提高总收益的理想方式,企业应选择从其他方面的改变来提高总收益。下面是一个弹性应用的简单举例:

  例3假如有一种产品需求函数为:,试求:

  (1)此产品的需求弹性函数。

  (2)求当p=3,p=4,p=5时,计算其需求弹性,并论述其需求弹性的意义。

  解(1)

  (2)当时,此时商品处于低弹性状态,也就是说,商品价格每上涨1%时,就会使得商品的市场需求量下跌0.75%,说明此时提高价格将会增加商品的总收益。

  当时,,此时商品处于中弹性状态,也就是说,商品价格每上涨1%时,就会使得商品的市场需求量会下跌1%,说明此时提高价格与否将不会对商品总收益产生明显的影响。

  当时,,此时商品处于高弹性状态,也就是说,商品的价格每上涨1%时,就会使得商品的市场需求量将会下跌1.25%,说明此时提高价格将会降低商品的总收益。

  4.2边际分析

  在经济中,市场可以说是瞬息万变的,因此我们引进了变化率来表示经济中的变化,变化率有平均和瞬时变化率。

  4.2.1边际成本函数

  一般来说,边际成本表示的是在任何生产水平上增加单位产量所需要的劳动力、原材料和燃料的变动成本。由此,我们可以看成是成本对于产量的一个函数,我们设为产量,记作固定成本,记作可变成本,总成本记作,总成本等于,则总成本对的导数就是边际成本函数。

  4.2.2边际收益函数

  边际收益表达的意思是增加一单位的产品销售量所增加的收益,也是销售最后一单位产品售出时所带来的收益。边际收益是关于销售量和商品价格的函数,这一点和边际成本不同。设总收益函数为,其中为销售量(需求量),又设为商品价格,则总收益函数为,总收益函数和存在着导数关系,就是边际收益函数。它的经济含义是在已经销售了一定量的单位产品时,最后每再多销售出一单位的产品所带来的收益。

  例4如果有一种商品,其需求量是单价(单位:元)的函数:,该商品的总成本,是需求量的函数:;一个单位商品须纳税2元,求能够获得销售利润最大的商品价格?并求出最大利润的值。

  解:

  以L表示销售利润额,由得到:

  令得到=101。又因为

  故当=101时,有极大值,因=101是唯一驻点,所以

  有最大值,即最大利润为元。

  4.2.3边际利润函数

  边际利润是商品销售收入减掉与之相对应的可变成本所得的差值,反应了增加产品的销售量所能为公司增加的收益。我们设总利润函数是总收益函数减去总成本函数所得之差,即:。当可导时,总利润函数以产量作求导得到的导数就是边际利润,即边际利润为:且当时,有,当时有,当时,有。其经济含义类似,边际利润反映了商品销量对总利润的的变化情况。

  4.2.4边际需求函数

  如果是需求函数,那么需求对价格的导数就是边际需求,即为边际需求函数。在这里是对价格的边际需求,也就是价格变动所带来的效果是增加或减少需求。

  4.2.5产量优化得到利润最大化的问题

  在经济生产过程中,以有限的生产资源配合合理合法的生产配置来获取最大的利润。这个问题是每一个从事经济生产的商人都需要思考的。有了微积分以后,我们开始了采用导数来更简洁的解决这些利润问题,并为从事经济活动的人们提供科学、合理的数据来指导经济活动的开展,以下实例是固定价格采用导数求最优化产量得到最大利润。

  例5假设一工厂生产件产品的成本为元,那么产品以每一件500元售出(假定生产的产品都能卖出去),则生产多少件产品才能使得利润最大?

  解:依题意设收益函数为,利润函数为,得收益函数,利润函数为:。

  由得,因,则生产6000件产品,利润最大。

  第五章积分学在经济学中的应用

  5.1定积分的应用

  积分学是微积分学的另外一个重要板块,它也是其他数学分支的重要部分。在定量分析中积分学有着无与伦比的作用,它深刻揭示了现代经济复杂的相互关系和变化趋势,是经济决策者作出科学经营决策的重要依据。

  在经济中,经济参与者的经营方案和决策直接或间接受市场的经济总量和变化值的影响。通过比较分析经济总量的变化值来及时调整企业的经营方案来对企业实现的可持续发展以及可持续的获利有着至关重要的意义。在数学上,不定积分通常用于求解具有已知边值函数的原函数。

  对某一已知经济函数,如利润函数和总收入函数以及总成本函数,它的导数就是它的边际函数,对已知的边际函数积分则可求得原经济函数,或用牛顿-莱布尼茨公式:也可以求得原经济函数【22】。

  应用举例

  由边际函数求最优问题,原经济函数的最优解采用定积分的方法求解,即在一定的约束条件下求得原经济函数的最大和最小值,可以利用边际经济函数求出驻点,再结合实际问题中的条件得出极值点,令原经济函数的边际函数即其导数即可。如下例:

  例6假设有一企业,生产吨A产品,其产品的边际成本函数为(元/吨),固定成本为1600元,问当A产品的产量为多少时平均生产成本最低?

  解:依题意得,由牛顿-莱布尼茨公式,可求出成本函数为

  设平均成本函数为,则

  对平均成本函数为求导可得边际平均成本函数

  令解得x=400,即平均成本函数只有一个驻点x=400,结合该实际问题可知,该驻点即为极值点且为极小值,故当x=400吨时,平均生产成本最低。

  5.2不定积分的应用

  微分通过逆运算进而得到不定积分,而定积分和不定积分的区别则是在于定积分在不定积分的所得上把确定的值代到不定积分中进去相减从而得到确切的数值。而不定积分是计算原始函数是没有确切的数值。在瞬息万变的市场经济中我们常常会见到一些变故如成本变故。对于这些经常出现很多的变故,于是我们就需要通过最终的变化率来计算变化之后的总的变化量。不定积分求解经济问题一般有三个步骤:第一是先求出边际函数的不定积分,第二接着由给定的初始条件,来确定积分常数,第三就是得出满足此不定积分初始条件的经济函数。

  例7假设工厂生产某一产品时,若月产品的边际成本函数为:,固定成本是元,求成本与月产量的函数关系

  解:因为,所以,由题意知道固定成本为5000,则得到所求函数为:.

  例8设有一工厂,如果生产一种产品的边际成本为(万元/吨),生产该产品的固定成本为12万元,试找出最小平均成本产出和最小平均成本。

  解:边际成本为(万元/吨),固定成本为12万元,成本为,平均成本为.由此可得到最小平均成本(万元/吨),最小平均成本产量吨。