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论文在线分享-状态不可测下一类输入饱和非线性系统自适应跟踪控

2021-05-04 14:15:44

  本文针对一类状态不可测的输入饱和非线性系统,利用模糊控制方法,对自适应跟踪问题进行了研究。使用模糊系统来逼近未知函数,并且利用模糊状态观测器对不可测状态变量进行估计。利用所设计的模糊状态观测器,建立了一种串并联估计模型。然后根据系统模糊观测器和串并联估计模型之间的预测误差设计了模糊控制器。用Lyapunov第二方法证明了系统是稳定有界的。数值仿真结果表明了所设计方案的有效性。

  早年出现的一些控制系统,如:瓦特蒸汽机等[1],人们一般用线性系统来近似代替其真实的系统。随着当前经济的发展与壮大,许多行业对控制的精确度要求也在不断提高。因此,传统的线性控制方法已经很难被应用。因此,迫切需要一种非线性控制方法来对系统进行准确的控制。随着大量的学者在这个领域投入精力,涌现出了许多重要成果,由于各种系统的复杂性不同,所采取的的控制方式也不尽相同。

  在控制领域中,自适应控制有着举足轻重地位。在社会生产领域中,控制系统的不确定性极为常见,如导弹在飞行过程当中,气流的速度,温度的高低,空气密度的大小等都会发生变化。对于许多因扰动而引起的误差,我们可以借助自适应控制来进行消除,从而优化了系统性能的控制[2]。学者们将各种自适应方法推广到不同类型的非线性系统中,并不断作补充性内容。

  在现代控制领域当中,跟踪控制的研究是一个很热门的话题。在导弹的飞行轨迹跟踪、机械臂的操控系统、市场经济等都涉足到了跟踪控制问题。输出跟踪控制是指在适合系统跟踪性能的前提下,通过设置预定的轨迹让被控对象的输出紧密跟踪[3]。在系统处于一个环境不变或者变化缓慢的地方时,输出跟踪控制可以有效的实现对系统预定的轨迹进行跟踪。然而,当控制系统的内部故障或者周边环境发生突变时,输出跟踪控制可能会失效。此时,若要实现对预期轨迹的跟踪,就需要一种更加合理有效的方式。为了实现更好的跟踪效果,科学家们采取了许多不同的设计方案。

  基于上述观察结果,许多非线性控制方法在各种领域当中都有着很好的发展,但仍然有挖掘的空间。在本文中,我们将针对状态不可测以及饱和问题提出了解决的思路。

  1.2预备知识

  1.2.1稳定性相关定理

  1.相关概念

  设有如下非线性系统:

   (1-1)

  式中,是一个维状态向量,且。

  定义1:如果(1-1)式对于所有的,都存在满足

   (1-2)

  则称为系统的平衡状态。

  定义2[4]10:如果对于任意的以及,总有,满足

   (1-3)

  称是平衡点。

  定义3:如果存在常数和时间常数,使得,当,则称系统(1-1)的解半全局一致有界(SGUUB)[5]。

  定义3(young不等式)[6-8]:对,使如下不等式成立:

   (1-4)

  其中,,,。

  2.Lyapunov主要定理

  定理1[4]10:在上述非线性系统(1-1),其中。若存在标量函数,并满足:

  1)正定有界,即存在连续非减标量函数和,其中,,对于任意的,且,都有

   (1-5)

  2)关于的导数负定有界,即存在连续非减标量函数,其中,对于任意的,且,都有

   (1-6)

  3)当时

   (1-7)

  那么我们就称系统在原点的平衡状态是大范围一致渐近稳定的。

  定理2:上述系统(1-1),如果有标量函数,,对于任意的,且,满足:

  1)正定且有界;

  2)关于的导数负定且有界;

  在这种情况下我们就称系统在原点的平衡状态是一致渐近稳定的。

  1.2.2FLS

  FLS的规则基由以下形式的IF-THEN规则集合组成:

  :如果为,以及为,...,且为,则是,

  其中,为FLS的输入和输出,和为模糊集合,它们的模糊隶属函数分别为和。为规则数[9]。

  通过单点模糊化、中心平均加权解模糊化以及乘积推理[6]8,FLS可以被表示为:

   (1-8)

  其中

  模糊基可定义为:

   (1-9)

  让,,然后将FLS(1-8)重写为:

   (1-10)

  引理:设是为紧致区间上的连续函数,对任意的,存在FLS(1-10),使得

   (1-11)

  1.3论文主要安排和研究内容

  本文用四个章节对整个课题进行了研究:第一章是绪论部分,对本次课题的研究背现状和意义做出了一个概括,并对所用到的基础知识进行了一个简单的描述;第二章是在状态不可测且输入饱和的情况下对控制器、观测器进行设计,并且进行了稳定性分析;第三章运用数值例子进行仿真,对所构建系统的可行性进行了验证,从而证实了本次构建的控制器是可靠的;第四章是结论部分,对本次课题所研究的内容作出了一个简单的总结。

  第二章状态不可测下一类输入饱和非线性系统的自适应控制器设计

  2.1系统描述

  考虑如下形式的系统:

   (2-1)

  其中,为状态向量;y为输出。为一个不可知的光滑函数;。为未知的干扰。是控制输入,是控制器输出。为饱和输入,可表示为[10,11]:

   (2-2)

  其中,是的界。

  饱和度可用如下光滑函数近似表示:

   (2-3)

  在式(2-2)中的可表示为:

   (2-4)

  其中是有界的时间函数,它的界可被表示为

   (2-5)

  在区间中时,随着从0变为,从0增加到;相反,若在区间,随着从0变为,从增加到0。

  为了使系统设计更加方便,我们需要以下假设

  假设1:存在一个常数,且

   (2-6)

  其中为的估计值;为的向量范数。

  假设2:扰动被正常数所限制,即。

  2.2观测器设计

  由于上述系统状态不可测,所以需要构建观测器来对未知的变量进行估计。

  把式(2-1)重新写为下列这种形式:

   (2-7)

  其中;是的估计值。

  假设式(2-7)的非线性项可以被近似为

   (2-8)

  最佳参数向量和有如下定义:

   (2-9)

   (2-10)

  其中,,,以及是,,和的有界闭区域,。最小模糊逼近误差满足,且是一个正常数。

  构建一个模糊状态观测器如式(2-11)所示:

   (2-11)

  其中是正设计参数。

  将式(2-11)重写为:

   (2-12)

  其中,,,,.

  选择向量让矩阵成为一个严格的赫尔维兹矩阵。从而得到一个正定矩阵,且存在一个正定矩阵满足

   (2-13)

  为观测器误差向量,有(2-7)和(2-12)可得

   (2-14)

  其中,,,以及,

  由式(2-11)和文献[12]可得

   (2-15)

  其中为设计参数

  将预测误差定义为

   (2-16)

  由式(2-11)和(2-15)可得

   (2-17)

  2.3控制器的设计

  基于backstepping(反步法)来开发出一个模糊输出反馈控制器,并通过使用预测误差来得到参数的自适应律[13]。预测误差由backstepping推导过程的串并联估计模型和系统的状态观测器模型之间的误差得出的。

  第一步:设为第一个误差

   (2-18)

  可以用来表示,对求导可得

   (2-19)

  第一个虚拟控制函数为

   (2-20)

  其中为设计参数。

  将一个新的状态变量引入,让通过一个常数为的一阶滤波器,则可表示为

   (2-21)

  为了消除已知误差,定义如下补偿信号

   (2-22)

  在接下来的步骤中定义。

  定义和为补偿跟踪误差,的自适应律为

   (2-23)

  其中,以及是设计参数。由(2-17)可知,是预测误差。

  第i步(i=1,2,...,n-1):设为第个误差

   (2-24)

  将在式(2-26)中得知

  第个虚拟控制器如下

   (2-25)

  为设计参数。

  将一个新的状态变量引入,让通过一个常数为的一阶滤波器,则可表示为

   (2-26)

  为了消除已知误差,定义如下补偿信号

   (2-27)

  定义为补偿跟踪误差,的自适应律为

   (2-28)

  其中,以及是设计参数。由(2-27)可知,是预测误差。

  第n步:设为第个误差

   (2-29)

  是辅助设计信号,可由下面的式子求得

   (2-30)

  则实际控制输入为

   (2-31)

  为设计参数

  定义下列补偿信号

   (2-32)

  设为误差补偿信号,预测误差为

   (2-33)

  可由下面的串并联估计模型得到

   (2-34)

  为设计参数。

  对自适应函数求导可得

   (2-35)

  其中,以及是设计参数。

  2.4稳定性分析

  定理:在假设1,控制器(3-31),状态观测器(2-11)以及串并行估计模式下(2-15),和虚拟控制函数(2-20)和(2-25)、参数自适应律(2-23)、(2-28)和(2-35)一起来确保闭环系统的所有信号半全局一致有界(SGUUB),并通过选取恰当的设计参数,从而让跟踪误差在无穷小邻域内收敛[12]5,6。

  证明:选取Lyapunov函数为

   (2-36)

  对求导得

   (2-37)

  由猜想1和young不等式得

   (2-38)

   (2-39)

   (2-40)

   (2-41)

   (2-42)

  其中。

  由式(2-11),(2-24),(2-28)可得

   (2-43)

  由式(2-11),(2-12),(2-15)可得

   (2-44)

  把式(2-38)-(3-42)代入式3-37)得

   (2-45)

  其中,,,以及。

  依据young不等式,我们可以得到不等式如下所示:

   (2-46)

   (2-47)

   (2-48)

   (2-49)

   (2-50)

  将式(2-46)-(2-50)代入式(2-45)可得

   (2-51)

  式中,。

  将式(2-28)代入式(2-51)中得

   (2-52)

  其中。

  选择适当的的设计参数,,以及使,和。

  设

   (2-53)

  从式(2-53)可知

   (2-54)

  式(2-54)可以写成

   (2-55)

  由式(2-55),文献[2]可知SGUUB是闭环系统的所有信号。而且,,。由,可知和。由此可知,是在有界范围内,进一步可知所有的闭环系统输出信号最终是在有界范围内。

  第三章仿真分析

  设有如下控制系统:

   (3-1)

  其中,,以及,参考信号。

  输入可被表示为:

   (3-2)

  令。

  在模拟研究中,五个模糊集:、、、和,并分别在区间[4,4]或变量、和上定义,其中NL、NS、ZO、PS和PL分别表示负大、负小、零、正小和正大[12]7。它们的形式如下:

  

  

   ,

  模糊基为:

  

  

  其中。

  FLS中,。

  令观测器增益向量,将模糊观测器构造为:

   (3-3)

  构建串并联模型

   (3-4)

  虚拟控制函数,控制器,自适应律和以及一阶滤波器如下:

   (3-5)

   (3-6)

   (3-7)

   (3-8)

   (3-9)

  上述所用到的参数分别为,,,,,,以及。

  本次仿真结果如下图3.1-3.6所示。从图中我们可以系统的跟踪能力较强,误差极小;系统的各个变量信号也都可以一直保持在一定范围内。

  图3.1输入

  图3.2输出(实线)和参考信号(虚线)

  图3.3误差

  图3.4状态变量(实线)和它的估计值(虚线)

  图3.5状态变量(实线)和它的估计值(虚线)

  图3.6(实线)和(虚线)

  第四章总结

  本文用一种模糊控制方法对一类状态不可测的未知线性系统进行反馈设计。借助于FLS逼近未知函数,由于系统状态不可测,从而构建了一种状态观测器。基于反推设计技术,利用系统状态观测器模型和设计的串并联估计模型之间的预测误差,构建了输出反馈控制器。最后对系统所有信号是否能保持在一定范围内,即有界性进行了证明,在仿真结果中,表明了系统的输出能够在短时间内跟上参考信号,验证了该控制器的良好性能。