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论文方法写作-函数的一致连续性及其应用

2021-05-22 11:53:39

  本文以函数的连续性为基础,一致连续性的定义为出发点,重点深入分析函数的一致连续性.教材一般只给出定义来判断函数是否一致连续,这对一些函数来说是比较复杂且难以解决的.因此本文主要对一元函数在各种区间上讨论函数的一致连续性的判断条件和方法,以及一些性质和应用,能够在教材的基础上更加全面地了解函数的一致连续性.

  连续性在数学中有着很重要的作用,它是华东师范大学数学系上册《数学分析》这本书中第四章的内容,是比较前面的位置,这说明连续性是函数的一种基础的性质,并且连续和一致连续有着非常密切的联系,而一致连续比连续的要求更高,它是数学分析中一个重要的知识点,特别是证明连续函数可积时起到很大的作用.往往在学习函数的一致连续性时,相比连续性,教材中对函数的一致连续性描述较少,只给出了函数一致连续性的定义和少数判断函数一致连续性的方法,而如何判断一个函数的一致连续性是一个很重要的问题,但我们无法从课本上学到更多这方面的知识.因此本文就函数的一致连续性进行深刻分析,总结一些判断函数一致连续性的条件和方法.由于连续和一致连续有着密切的联系,因此本文很多判断函数一致连续性的条件和方法都是以连续性为基础的.文献1主要叙述了函数连续和一致连续的定义以及少数判别一致连续性的方法,文献2叙述了函数连续模的内容,文献3主要叙述了一致连续性的一些性质,文献4和5主要分析了函数一致连续性的判别方法,文献6和7主要描述了函数一致连续性的一些性质,文献8分析了幂函数的一致连续性,这些文献对本文有很大的参考作用.

  1.2预备知识

  为了便于理解,现将本文涉及的一些相关定义和定理罗列如下.

  定义1.2.1[1]设函数在某上有定义,若

  ,(1-1)

  则称函数在点连续,若函数在区间上的每一点都连续,则称在上连续.

  定义1.2.2[2]若函数在区间上有定义,称

  (1-2)

  为在区间上的连续模.

  定义1.3.1[1]设为定义在区间上的函数.若对任给的,存在,使得对任何,只要,就有

  ,(1-3)

  则称函数在区间上一致连续.

  注:函数在区间上一致连续表明无论两点,在中处于什么位置,只要它们的距离小于,而这只与有关,就可以使.

  这个定义是教材中最常用的定义,根据定义还能扩展推理得到更多判断函数一致连续的条件和方法,这些本文后面会逐渐说明.

  由此,还可以得到函数在区间不一致连续的定义:,对,存在,使得当时,有

  .(1-4)

  引理1.2.1[3]有限区间上的一致连续函数必有界.

  引理1.2.2[1]设区间的右端点为,区间的左端点也为,若分别在和上一致连续,则在上也一致连续.

  2函数一致连续性的判断条件

  (1)引理2.1[1]函数在上一致连续的充要条件为:对任何数列,若

  ,(2-1)

  则

  .(2-2)

  类似用归结原则来判断函数的连续性,这里通过数列来判断函数的一致连续性,但是直接用来证明函数的一致连续可能会很麻烦,因为这要验证任意的数列,因此一般用来证明函数的不一致连续比较方便,而这又与数列有关,可适用于含有三角函数和幂函数的函数.

  例2.1证明函数在上不一致连续.

  证:令

  ,(2-3)

  则

  .(2-4)

  但是

  ,(2-5)

  在上不一致连续.

  例2.2判断函数在上的一致连续性.

  解:令

  ,(2-6)

  则

  .(2-7)

  而

  ,(2-8)

  在上的不一致连续.

  从这两个简单的例子可以知道应用(1)中的结论是非常方便快捷的,如果用定义来判断函数的一致连续性还需要进行推理化简得到定义的形式,甚至有时候根本无法化简.由此可知定义无法满足解决函数一致连续性的需求,还需总结更多的判断函数一致连续性的条件和方法.

  (2)函数在上一致连续的充要条件为【2】:.

  证:若在上一致连续,则对当时,有,所以

  ,(2-9)

  从而当时,有

  ,(2-10)

  所以

  .(2-11)

  若,则对,有

  ,(2-12)

  所以

  ,(2-13)

  因此当时,有

  ,(2-14)

  在上一致连续.

  这里可以通过连续模的极限来判断函数的一致连续性,其实也是从定义出发,观察函数的图像的陡峭程度来进行描述,但是这个往往用得比较少.

  (1)和(2)适用于函数所在定义域的所有区间,而在一些特殊区间还要进行如下讨论.

  (3)一致连续性定理:若函数在闭区间上连续,则在上一致连续【1】.

  这个定理也叫康托尔定理,其实从函数一致连续的定义可以知道如果一个函数在区间上一致连续,那么它肯定在上连续.这个定理直接就将闭区间上的函数的连续性和一致连续性联系起来,说明了只有在闭区间上的连续函数才必定一致连续.但是如果不在闭区间上时,那么通过分析这个定理可以知道要判断在有限开区间上的函数是否一致连续,还需要分析函数在区间端点连续性.所以可以得到以下结论:

  (4)函数在上一致连续的充要条件为:在上连续,存在且有限.

  证:在上一致连续,在上连续,且对

  ,当时,有.

  当时,由柯西收敛准则知存在且有限.

  同理当时,知存在且有限.

  构造函数

  (2-15)

  则在上连续,根据(3)中一致连续定理知在上一致连续,

  在上也一致连续,在上一致连续.

  例2.3证明在上一致连续.

  证:由在上连续,知

  ,(2-16)

  在上一致连续.

  这些只是在函数一致连续性有限区间上的讨论,还可以类似进一步在无限区间中展开讨论.

  (5)若函数在上连续,,存在且有限,则函数在上一致连续.

  但是反之是不成立的,比如在上是一致连续的,但是是不存在的.所以在无限区间上的时候要注意这个问题.

  通过以上讨论,也可以用类似方法判断连续函数在,,,,,上的一致连续性,具体内容不再一一重复.

  总之,(3)-(5)判断函数一致连续性的条件是函数在区间上连续并且在区间端点的极限要存在,都应用到了函数的连续性,这也说明了一致连续和连续有着非常密切的关系.从而根据(3)-(5)还能得到以下结论:

  (6)若函数在区间上单调有界且连续,则在上一致连续.

  证明:由在区间上单调有界,则对,存在,而且连续,根据

  (3)-(5)的结论可知在上一致连续.

  例2.4判断在上是否一致连续?

  解:对,有

  ,(2-17)

  在上连续,

  又因为

  ,(2-18)

  在上一致连续.

  3函数一致连续性的判断方法

  3.1函数一致连续性在一般区间的判断方法

  (1)定义法.一般根据函数一致连续性的定义都能判断一个函数是否一致连续,很多证明方法都是从定义出发的,这也是最常用的方法,而根据函数一致连续性的定义,还能将其扩展得到以下结论:

  若函数在区间上满足利普希茨条件:

  .(3-1)

  其中是是常数,则在上一致连续.

  证:对则当时,有

  ,(3-2)

  所以在上一致连续.

  由证明过程可知函数化成利普希茨条件的形式其实是对函数一致连续性定义的直接应用,这将定义具体化,提供了解题思路.

  例3.1设,证明在上一致连续.

  证:对,有

  .

  取,那么根据(1)就知在上一致连续.

  (2)导函数有界法.根据导函数有界,可以间接地得到(1)中的结论.有时候一个函数太复杂,有时候无法将题目直接化简成(1)中利普希茨条件的形式,也就是说用定义无法简单地证明这个函数一致连续.这时可以从导函数入手.当导函数比较简单时,只要知道这个函数的导函数有界,就能判断这个函数是否一致连续.也就得到以下结论:

  若函数在区间上可导,且在上有界,则在上一致连续.

  证明:因为在上有界,

  所以,使

  ,(3-3)

  又因为在可导,由拉格朗日中值定理,知对,有

  ,(3-4)

  所以

  .(3-5)

  所以根据(1)可知在一致连续.

  3.2函数一致连续性的比较判别法

  (1)定理3.2.1【4】函数,若,其中是常数,且,则函数具有相同的一致连续性.

  这个方法是通过构造一个函数,通过两个函数的比较以及所构造的函数是否一致连续来判断原函数是否一致连续.它比较灵活,表面看好像大多函数都能通过这个方法判断一致连续性,特别是一些复杂的函数,但是前提是要知道所构造函数的一致连续性并且两个函数比较之后的极限要存在,而通常基本初等函数的一致连续性是比较好判断的.因此如果题目中的函数含有基本初等函数,则可以考虑这种方法.

  函数在不同的区间上时,还可以类似得到以下的结论:

  (2)函数,若,其中是常数,且,则函数具有相同的一致连续性.

  (3)函数,若,其中是常数,且,则函数具有相同的一致连续性.

  (4)函数,若,,其中是常数,且,则函数具有相同的一致连续性.

  例3.2.1证明函数在上一致连续.

  证明:令

  ,(3-6)

  则

  ,(3-7)

  取,则有

  .(3-8)

  在上一致连续,在上一致连续.

  3.3函数一致连续性的比值判别法

  (1)设函数,且函数满足

  1);2)可导,且;

  3),其中是常数,且,则函数具有相同的一致连续性.

  证明:根据洛必达法则,知

  ,(3-9)

  设在上一致连续,则对当时,有

  ,(3-10)

  因为

  ,(3-11)

  所以对,使

  ,(3-12)

  由柯西微分中值定理知,,使

  ,(3-12)

  所以

  ,(3-13)

  所以对,有

  ,(3-14)

  从而有

  ,(3-15)

  所以

  ,(3-16)

  ,有

  ,(3-17)

  因此,在上一致连续.

  在上连续,在上一致连续.

  在上一致连续.

  同理还可证明若在上一致连续,则在上一致连续.

  如果一个函数是无穷大量并且可导,那么可以通过构造一个已知一致连续性的无穷大量的可导的函数,通过两个导函数的比值关系,其实也是这两个函数的比值,将两者的一致连续性联系起来,这样就能判断了,这与比较判别法类似,都是构造函数,只是条件不一样.

  由(1)知函数在不同的区间上时,还可以类似得到以下的结论:

  (2)设函数,且函数满足

  1);2)可导,且;

  3),其中是常数,且,则函数具有相同的一致连续性.

  (3)设函数,且函数满足

  1);2)可导,且;

  3),其中常数,且,则函数具有相同的一致连续性.

  (4)设函数,且函数满足

  1);2)可导,且;

  3),其中是常数,且,则函数具有相同的一致连续性.

  (5)设函数,且函数满足

  1);2)可导,且;

  3),其中是常数,且,则函数具有相同的一致连续性.

  (6)设函数,且函数满足

  1),;2)可导,且;

  3),其中是非零常数,则函数具有相同的一致连续性.

  例3.3判断函数在上是否一致连续?

  解:在上不一致连续.令

  ,(3-18)

  则

  .(3-19)

  又因为在上连续,且

  ,(3-20)

  而在上不一致连续,在上不一致连续.

  无论是在有限区间还是无限区间,比较判别法和比值判别方法都可以适用.

  4函数一致连续性的性质

  函数的连续性满足四则运算,一致连续性也如此.

  (1)若函数在上一致连续,则在上一致连续.

  证明:在上一致连续,对,当时,有

  ,(4-1)

  又在上一致连续,当时,有

  ,(4-2)

  故对,取,则对,当时,有

  ,

  ,

  在上一致连续.

  (2)若函数在上一致连续,则,在上一致连续.

  (3)若函数在上一致连续且有界,则在上一致连续.

  (4)若函数在上一致连续,函数在上一致连续且,则在上一致连续.

  例4.1设函数在上一致连续,证明在上也一致连续.

  证:在上一致连续,令,则在上连续,

  在上一致连续.又在上有界,在上一致连续,

  在上一致连续.因此在上一致连续.

  5两种函数的一致连续性

  5.1周期函数的一致连续性

  如果函数的周期为,在上有定义且连续,则函数在上一致连续.

  证:在上连续,在上连续.

  根据一致连续性定理知在上一致连续,

  对,当时,有.

  令,当时,存在正整数,使

  ,(5-1)

  则

  ,(5-2)

  所以

  .(5-3)

  故在上一致连续.

  这个针对周期函数的一致连续性,将连续和一致连续的关系连在一起.有些函数是周期函数,如三角函数等,但是如果直接用定义或者其他方法来证明它是一致连续的,有时候很难化简得到结果或是无从下手,此时就可以通过连续性来判断一致连续性,从而得到结论.

  例5.1.1证明函数在上一致连续.

  证:是以为周期的周期函数,并且在上连续,根据周期性知在上连续,因此在上一致连续.

  例5.1.2证明在上一致连续.

  证:因为

  ,(5-4)

  的周期为,即是周期函数.由上题知

  ,(5-5)

  在上连续,所以在上连续,

  故在上一致连续.

  5.2幂函数的一致连续性

  (1)函数在上是一致连续的.

  证:当时,根据例4.1的证明过程知在上一致连续;

  当时,知

  ,(5-6)

  根据一致连续性的定义,对当时,有

  ,(5-7)

  所以在上一致连续.

  (2)对任意的,函数在上一致连续,在上不一致连续,也就是在上不一致连续.

  证明:在上连续,在上一致连续.

  ,当时,根据拉格朗日中值定理知,存在介于之间,使

  ,(5-8)

  ,使

  ,(5-9)

  所以

  ,(5-10)

  则有

  .(5-11)

  在上不一致连续,在上不一致连续.

  例2.2中可以直接用(2)的结论来说明在上是不一致连续的.